Macierz odwrotna

Macierz odwrotna jest to macierz, która w wyniku iloczynu daje w wyniku macierz jednostkową.

Odwracanie macierzy

Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A stopnia n, to taka macierz kwadratowa stopnia n, oznaczana zwykle jako A^-1, która spełnia równość:
A^-1 x A = A x A^-1 = I_n
gdzie I_n oznacza macierz jednostkową stopnia n.

Wszystkie macierze nieosobliwe posiadają macierz odwrotną. Macierz osobliwa (macierz o wyznaczniku równym 0) nie posiada macierzy odwrotnej, ale ma uogólnioną macierz odwrotną.

Macierz odwrotną można tworzyć w oparciu o metodę eliminacji Gausaa. Jest to metoda bezwyznacznikowa i polega ona na przeniesiemu macierzy [A | I] do macierzy [I | B], czyli [A | I] → [I | B]. Proces ten odbywa się za pośrednictwem operacji elementarnych, do których możemy zaliczyć zamianę wierszy, mnożenie wierszy przez liczbę oraz dodawanie wierszy.

Własności macierzy odwrotnej

- wartość wyznacznika macierzy A^-1 jest równa odwrotności wyznacznika macierzy A.

• - (A^-1)^-1 = A, czyli macierzą odwrotną do macierzy A^-1 jest macierz A.

• - (A x B)^-1 = B^-1 x A^-1 — macierz odwrotna do iloczynu macierzy A i B jest równa iloczynowi macierzy B^-1 i A^-1 (we wskazanej kolejności!).

• - (A^T)^-1 = (A^-1)^T, czyli macierz odwrotna macierzy transponowanej A^T jest równa transponowanej macierzy odwrotnej A^-1.