Money.plTechnologieNauka i wiedzaWzory matematyczneDwumian Newtona
Wzory matematyczne

Dwumian Newtona

Dwumian Newtona nazywany jest również wzorem dwumianowym lub wzorem Newtona. Wzór ten wyraża naturalną potęgę sumy dwóch składników przez potęgi tego składniku. Potęgę dwumianu można rozwinąć w sumie jednomianów postaci

W każdym z tych jednomianów współczynnik  jest dodatnią liczbą dodatnią całkowitą, a wykładniki przy oraz sumują się do . Współczynniki przy jednomianach są współczynnikami dwumianowymi. Wzór ten nazywamy wzorem Newtona lub dwumianem Newtona. Korzystając z powyższych wzorów możemy wyprowadzić wzór na dowolną n-tą potęgę sumy.

Właściwości

Dwumian Newtona ma odgrywa dużą rolę w wielu dziedzinach i jednak największy wpływ odgrywa w  kombinatoryce.  Symbol Newtona pozwala wyznaczyć liczbę podzbiorów k-wyrazowych danego zbioru n-elementowego.
Bardzo interesującą własnością Symbolu Newtona jest to, ze jego wartości liczbowe możemy zapisać w formie zwanej trójkątem Pascala

dwumian newtona

Kolejnym wierszom trójkąta odpowiadają kolejne wartości n, kolejnym wyrazom w każdym wierszu - wartości k. Zgodnie z własnościami każdy wiersz zaczyna się i kończy na liczbie 1, a każdy element wewnątrz wiersza jest sumą dwóch leżących nad nim elementów. Trójkąt Pascala jest szybką i prostą metodą obliczenia wartości symbolu newtona.

Dwumian Newtona i trójkąt Pascala

Dwumian Newtona nazywany jest również wzorem dwumianowym lub wzorem Newtona. Wzór ten wyraża naturalną potęgę sumy dwóch składników przez potęgi tego składniku. Potęgę dwumianu można rozwinąć w sumie jednomianów postaci

W każdym z tych jednomianów współczynnik jest dodatnią liczbą dodatnią całkowitą, a wykładniki przy oraz sumują się do . Współczynniki przy jednomianach są współczynnikami dwumianowymi. Wzór ten nazywamy wzorem Newtona lub dwumianem Newtona. Korzystając z powyższych wzorów możemy wyprowadzić wzór na dowolną n-tą potęgę sumy.

Poniżej wzory dla kilku początkowych wartości n:
(
a ą b)0 = 1
(
a ą b)1 = a ą b
(
a ą b)2 = a2 ą 2ab + b2
(
a ą b)3 = a3 ą 3a2b + 3ab2 ą b3
(
a ą b)4 = a4 ą 4a3b + 6a2b2 ą 4ab3 + b4

Dwumian Newtona ma odgrywa dużą rolę w wielu dziedzinach i jednak największy wpływ odgrywa w kombinatoryce.
Symbol Newtona pozwala wyznaczyć liczbę podzbiorów
k-wyrazowych danego zbioru n-elementowego.

Bardzo interesującą własnością Symbolu Newtona jest to, ze jego wartości liczbowe możemy zapisać w formie zwanej trójkątem Pascala

Dwumian Newtona nazywany jest również wzorem dwumianowym lub wzorem Newtona. Wzór ten wyraża naturalną potęgę sumy dwóch składników przez potęgi tego składniku. Potęgę dwumianu  można rozwinąć w sumie jednomianów postaci
W każdym z tych jednomianów współczynnik  jest dodatnią liczbą dodatnią całkowitą, a wykładniki przy  oraz  sumują się do . Współczynniki  przy jednomianach są współczynnikami dwumianowymi. Wzór ten nazywamy wzorem Newtona lub dwumianem Newtona. Korzystając z powyższych wzorów możemy wyprowadzić wzór na dowolną n-tą potęgę sumy.
Poniżej wzory dla kilku początkowych wartości n:
(a ą b)0 = 1
(a ą b)1 = a ą b
(a ą b)2 = a2 ą 2ab + b2
(a ą b)3 = a3 ą 3a2b + 3ab2 ą b3
(a ą b)4 = a4 ą 4a3b + 6a2b2 ą 4ab3 + b4
Dwumian Newtona ma odgrywa dużą rolę w wielu dziedzinach i jednak największy wpływ odgrywa w  kombinatoryce.
Symbol Newtona pozwala wyznaczyć liczbę podzbiorów k-wyrazowych danego zbioru n-elementowego.
Bardzo interesującą własnością Symbolu Newtona jest to, ze jego wartości liczbowe możemy zapisać w formie zwanej trójkątem Pascala
Powiązane wzory

Wzór na deltę

Delta czyli - Δ - operator Laplace'a, w matematyce występuje jako symbol skończonego przyrostu danej zmiennej lub funkcji, oraz wyróżnik równania kwadratowego. Współczynnik delta znajduje wiele zastosowań w modelach fizycznych, pojawia się na...

Wzór na gęstość

Gęstość  jest stosunkiem masy pewnej ilości substancji do jej objętości. Wiemy, że stal jest cięższa niż plastik, że styropian jest bardzo lekki, a ołów ciężki. Aby jednak dokładnie określić jak ciężki jest dany przedmiot - należy podać jego...

Wzór na pole odcinka koła

Koło to część płaszczyzny ograniczona przez pewien okrąg, okrąg ten zawiera się w kole i jest zarazem jego brzegiem. Odcinek koła jest jego częścią ograniczoną cięciwą wyznaczającą kąt środkowy okręgu oraz łuk okręgu ograniczony przez ramiona...

Sprawdź pojęcie
  • galaktyka karłowata

    Galaktyka, która ma bardzo niewielkie rozmiary albo bardzo małą jasność absolutną.

  • Szeligowski, Stanisław

    1887 - 1966Wychowanek Obserwatorium Wileńskiego, gdzie uzyskał doktorat z mechaniki nieba. Po wojnie krótko w Toruniu, od 1950 r. profesor astronomii we Wrocławiu, gdzie zajmował się problemami astrometrii i mechaniki nieba..

  • Obwód koła

    Kołem nazywamy zbiór punktów znajdujących się na płaszczyźnie, w tym odległość każdego z punktu jest taka sama....

  • Wzór na pole trapezu

    Trapez czyli czworokąt, który posiada tylko jedną parę boków równoległych, boki te nazwane zostały podstawami, pozostałe natomiast noszą nazwę ramion. Odległość między podstawami to wysokość. Wyróżnia się trapez równoramienny oraz prostokątny....

  • Trójkąt równoramienny

    W matematyce trójkąt równoramienny to taki trójkąt, w którym dwa boki mają taka samą długość a kąty przy podstawie taką samą miarę. W sytuacji, gdy wysokość...